$P(x) = x^3 + ax + b$ を $(x+1)(x-3)$ で割った余りが $3x-2$ であるとき、以下の問いに答える。 (1) $P(-1)$ と $P(3)$ を $a, b$ で表す。 (2) 定数 $a, b$ の値を求める。

代数学多項式剰余の定理連立方程式
2025/8/12

1. 問題の内容

P(x)=x3+ax+bP(x) = x^3 + ax + b(x+1)(x3)(x+1)(x-3) で割った余りが 3x23x-2 であるとき、以下の問いに答える。
(1) P(1)P(-1)P(3)P(3)a,ba, b で表す。
(2) 定数 a,ba, b の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) P(1)P(-1)P(3)P(3)a,ba, b で表す。
P(x)=x3+ax+bP(x) = x^3 + ax + bx=1x = -1 を代入すると、
P(1)=(1)3+a(1)+b=1a+bP(-1) = (-1)^3 + a(-1) + b = -1 - a + b
P(x)=x3+ax+bP(x) = x^3 + ax + bx=3x = 3 を代入すると、
P(3)=(3)3+a(3)+b=27+3a+bP(3) = (3)^3 + a(3) + b = 27 + 3a + b
(2) P(x)P(x)(x+1)(x3)(x+1)(x-3) で割った余りが 3x23x-2 であるから、
P(x)=(x+1)(x3)Q(x)+3x2P(x) = (x+1)(x-3)Q(x) + 3x - 2 と表せる。(Q(x)Q(x) は商)
したがって、剰余の定理より、
P(1)=3(1)2=5P(-1) = 3(-1) - 2 = -5
P(3)=3(3)2=7P(3) = 3(3) - 2 = 7
(1)より、
P(1)=a+b1=5P(-1) = -a + b - 1 = -5
P(3)=3a+b+27=7P(3) = 3a + b + 27 = 7
よって、
a+b=4-a + b = -4
3a+b=203a + b = -20
この連立方程式を解く。
3a+b(a+b)=20(4)3a + b - (-a + b) = -20 - (-4)
4a=164a = -16
a=4a = -4
(4)+b=4-(-4) + b = -4
4+b=44 + b = -4
b=8b = -8

3. 最終的な答え

(1) P(1)=a+b1P(-1) = -a + b - 1, P(3)=3a+b+27P(3) = 3a + b + 27
(2) a=4a = -4, b=8b = -8

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