問題は、数列の和 $\sum_{i=1}^{n} 3^{i-1}$ が $\frac{3^n - 1}{2}$ と等しいことを証明することです。つまり、$3^0 + 3^1 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{2}$ を証明する必要があります。

1. 問題の内容

問題は、数列の和 $\sum_{i=1}^{n} 3^{i-1}$ が $\frac{3^n - 1}{2}$ と等しいことを証明することです。つまり、$3^0 + 3^1 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n - 1}{2}$ を証明する必要があります。

2. 解き方の手順

この等式は等比数列の和の公式を用いて証明できます。

等比数列の和の公式は、初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とすると、以下のようになります。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

今回の数列の場合、初項 $a = 3^0 = 1$、公比 $r = 3$、項数 $n$ です。したがって、等比数列の和は

$S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

となり、問題文の等式が証明されました。

3. 最終的な答え

$\sum_{i=1}^{n} 3^{i-1} = \frac{3^n - 1}{2}$