与えられた分数を簡単にしてください。 分数: $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

1. 問題の内容

与えられた分数を簡単にしてください。

分数: $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役を分子と分母に掛けます。分母$\sqrt{3}-1$の共役は$\sqrt{3}+1$です。

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$

分母を展開します。

$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

したがって、

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{2} = 2+\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2+\sqrt{3}$