3次方程式 $x^3 - 2x^2 + ax + b = 0$ が $x=1$ と $x=-1$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、さらに残りの解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 2x^2 + ax + b = 0$ が $x=1$ と $x=-1$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、さらに残りの解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x=1$ を方程式に代入すると、

$1^3 - 2(1)^2 + a(1) + b = 0$

$1 - 2 + a + b = 0$

$a + b = 1$ ...(1)

$x=-1$ を方程式に代入すると、

$(-1)^3 - 2(-1)^2 + a(-1) + b = 0$

$-1 - 2 - a + b = 0$

$-a + b = 3$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)+(2)より、

$2b = 4$

$b = 2$

これを(1)に代入して、

$a + 2 = 1$

$a = -1$

(2) $a=-1$、$b=2$ を方程式に代入すると、

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

この方程式は $x=1$ と $x=-1$ を解に持つので、$(x-1)(x+1) = x^2-1$ で割り切れる。

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x^2 - 1)(x - 2) = 0$

よって、$x=1$, $x=-1$, $x=2$ が解である。

したがって、残りの解は $x=2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$, $b = 2$

(2) 他の解は $2$