数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_{n+1} = \frac{4a_n + 1}{2a_n + 3}$ で定義されている。 (1) 2つの実数 $\alpha$, $\beta$ に対し、$b_n = \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$ とおいたとき、数列 $\{b_n\}$ が等比数列となるような $\alpha$, $\beta$ ($\alpha > \beta$) を1組求めよ。 (2) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k - 1}$ を求めよ。

はい、承知しました。問題文を読み解き、丁寧に解答を作成します。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_{n+1} = \frac{4a_n + 1}{2a_n + 3}$ で定義されている。

(1) 2つの実数 $\alpha$, $\beta$ に対し、$b_n = \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$ とおいたとき、数列 $\{b_n\}$ が等比数列となるような $\alpha$, $\beta$ ($\alpha > \beta$) を1組求めよ。

(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k - 1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1} = \frac{a_{n+1} + \beta}{a_{n+1} + \alpha}$ に $a_{n+1} = \frac{4a_n + 1}{2a_n + 3}$ を代入し、さらに $b_n = \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$ となることを利用して、数列$\{b_n\}$が等比数列になるための $\alpha$ と $\beta$ の条件を求める。

$b_{n+1} = \frac{\frac{4a_n + 1}{2a_n + 3} + \beta}{\frac{4a_n + 1}{2a_n + 3} + \alpha} = \frac{4a_n + 1 + \beta(2a_n + 3)}{4a_n + 1 + \alpha(2a_n + 3)} = \frac{(4 + 2\beta)a_n + (1 + 3\beta)}{(4 + 2\alpha)a_n + (1 + 3\alpha)}$

$b_{n+1} = r b_n = r \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha} = \frac{r a_n + r\beta}{a_n + \alpha}$となる $r$ が存在すればよい。

係数を比較して、

$4 + 2\beta = r(4 + 2\alpha)$

$1 + 3\beta = r(1 + 3\alpha)$

$\frac{4 + 2\beta}{1 + 3\beta} = \frac{4 + 2\alpha}{1 + 3\alpha}$

$(4 + 2\beta)(1 + 3\alpha) = (4 + 2\alpha)(1 + 3\beta)$

$4 + 12\alpha + 2\beta + 6\alpha\beta = 4 + 12\beta + 2\alpha + 6\alpha\beta$

$10\alpha = 10\beta$

$\alpha = \beta$

これは $\alpha>\beta$ に矛盾する。

$b_{n+1} = r \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$ の形に変形することを考えるのではなく、

$b_{n+1} = \frac{a_{n+1} + \beta}{a_{n+1} + \alpha} = \frac{\frac{4a_n + 1}{2a_n + 3} + \beta}{\frac{4a_n + 1}{2a_n + 3} + \alpha} = \frac{(4 + 2\beta)a_n + 1 + 3\beta}{(4 + 2\alpha)a_n + 1 + 3\alpha}$

$= \frac{p(a_n + \beta)}{q(a_n + \alpha)} = \frac{p}{q} \cdot \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$

$4 + 2\beta = p$

$1 + 3\beta = p\beta$

$4 + 2\alpha = q$

$1 + 3\alpha = q\alpha$

$p = 4 + 2\beta$ を $1 + 3\beta = p\beta$ に代入して、

$1 + 3\beta = (4 + 2\beta)\beta = 4\beta + 2\beta^2$

$2\beta^2 + \beta - 1 = 0$

$(2\beta - 1)(\beta + 1) = 0$

$\beta = \frac{1}{2}, -1$

同様に

$2\alpha^2 + \alpha - 1 = 0$

$(2\alpha - 1)(\alpha + 1) = 0$

$\alpha = \frac{1}{2}, -1$

$\alpha > \beta$ なので $\alpha = \frac{1}{2}$, $\beta = -1$ または $\alpha = -1$, $\beta = \frac{1}{2}$

よって$(\alpha, \beta) = (\frac{1}{2}, -1)$

(2) (1)より、$\alpha = \frac{1}{2}$, $\beta = -1$のとき、$b_n = \frac{a_n - 1}{a_n + \frac{1}{2}} = \frac{2a_n - 2}{2a_n + 1}$ は等比数列になる。

$b_1 = \frac{2 \cdot 2 - 2}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{2}{5}$

$b_{n+1} = \frac{p}{q} b_n$

$b_{n+1} = \frac{4 + 2(-1)}{4 + 2(\frac{1}{2})} b_n = \frac{2}{5} b_n$

よって、$b_n = \frac{2}{5} (\frac{2}{5})^{n-1} = (\frac{2}{5})^n$

$\frac{2a_n - 2}{2a_n + 1} = (\frac{2}{5})^n$

$2a_n - 2 = (\frac{2}{5})^n (2a_n + 1)$

$2a_n (1 - (\frac{2}{5})^n) = 2 + (\frac{2}{5})^n$

$a_n = \frac{2 + (\frac{2}{5})^n}{2(1 - (\frac{2}{5})^n)} = \frac{2 + (\frac{2}{5})^n}{2 - 2(\frac{2}{5})^n} = \frac{2 \cdot 5^n + 2^n}{2 \cdot 5^n - 2 \cdot 2^n} = \frac{5^n + 2^{n-1}}{5^n - 2^n}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k - 1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\frac{5^k + 2^{k-1}}{5^k - 2^k} - 1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{5^k - 2^k}{5^k + 2^{k-1} - (5^k - 2^k)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{5^k - 2^k}{3 \cdot 2^{k-1}} = \frac{2}{3} \sum_{k=1}^{n} ((\frac{5}{2})^k - 1) = \frac{2}{3} (\sum_{k=1}^{n} (\frac{5}{2})^k - \sum_{k=1}^{n} 1) = \frac{2}{3} (\frac{\frac{5}{2} ((\frac{5}{2})^n - 1)}{\frac{5}{2} - 1} - n) = \frac{2}{3} (\frac{\frac{5}{2} ((\frac{5}{2})^n - 1)}{\frac{3}{2}} - n) = \frac{2}{3} (\frac{5}{3} ((\frac{5}{2})^n - 1) - n) = \frac{10}{9} ((\frac{5}{2})^n - 1) - \frac{2}{3} n = \frac{10}{9} (\frac{5}{2})^n - \frac{10}{9} - \frac{2}{3} n = \frac{10}{9} (\frac{5}{2})^n - \frac{2}{3} n - \frac{10}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $(\alpha, \beta) = (\frac{1}{2}, -1)$

(2) $a_n = \frac{5^n + 2^{n-1}}{5^n - 2^n}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k - 1} = \frac{10}{9} (\frac{5}{2})^n - \frac{2}{3} n - \frac{10}{9}$