実数全体を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A = \{x | -1 \le x \le 5\}$ と $B = \{x | -2 < x < 2\}$ について、次の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

実数全体を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A = \{x | -1 \le x \le 5\}$ と $B = \{x | -2 < x < 2\}$ について、次の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分です。$A$ は $-1 \le x \le 5$ を満たす $x$ の集合であり、$B$ は $-2 < x < 2$ を満たす $x$ の集合です。この二つの範囲の重なる部分を求めます。数直線で考えると、$A \cap B = \{x | -1 \le x < 2\}$ となります。

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合です。$A$ または $B$ に含まれる $x$ の集合です。$A$ は $-1 \le x \le 5$ を満たす $x$ の集合であり、$B$ は $-2 < x < 2$ を満たす $x$ の集合です。数直線で考えると、$A \cup B = \{x | -2 < x \le 5\}$ となります。

(3) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $B$ の補集合 $\overline{B}$ の共通部分です。まず、$\overline{B}$ を求めます。$B = \{x | -2 < x < 2\}$ なので、$\overline{B} = \{x | x \le -2 \text{ または } x \ge 2\}$ となります。$A = \{x | -1 \le x \le 5\}$ との共通部分を求めると、$A \cap \overline{B} = \{x | -1 \le x \le -2 \text{ または } x \ge 2\} \cap \{x | -1 \le x \le 5\} = \{x | 2 \le x \le 5\}$となります。

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$A$ の補集合 $\overline{A}$ と $B$ の補集合 $\overline{B}$ の共通部分です。まず、$\overline{A}$ を求めます。$A = \{x | -1 \le x \le 5\}$ なので、$\overline{A} = \{x | x < -1 \text{ または } x > 5\}$ となります。$\overline{B} = \{x | x \le -2 \text{ または } x \ge 2\}$ との共通部分を求めると、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | (x < -1 \text{ または } x > 5) \text{ かつ } (x \le -2 \text{ または } x \ge 2) \}$となります。したがって、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x \le -2 \text{ または } x > 5\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | -1 \le x < 2\}$

(2) $A \cup B = \{x | -2 < x \le 5\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{x | 2 \le x \le 5\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x \le -2 \text{ または } x > 5\}$