1から100までの整数を全てかけた数（100の階乗、100!）を3で割り続けたとき、商が初めて整数でなくなるのは、何回目に3で割ったときか？

1. 問題の内容

1から100までの整数を全てかけた数（100の階乗、100!）を3で割り続けたとき、商が初めて整数でなくなるのは、何回目に3で割ったときか？

2. 解き方の手順

100! が3で何回割り切れるかを考える。

1から100までの整数の中に、3の倍数はいくつあるか？

3の倍数の個数は $\lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$ 個。

1から100までの整数の中に、9 ($3^2$) の倍数はいくつあるか？

9の倍数の個数は $\lfloor \frac{100}{9} \rfloor = 11$ 個。

1から100までの整数の中に、27 ($3^3$) の倍数はいくつあるか？

27の倍数の個数は $\lfloor \frac{100}{27} \rfloor = 3$ 個。

1から100までの整数の中に、81 ($3^4$) の倍数はいくつあるか？

81の倍数の個数は $\lfloor \frac{100}{81} \rfloor = 1$ 個。

100! が3で割り切れる回数は、上記の個数を全て足し合わせたものになる。

つまり、

$33 + 11 + 3 + 1 = 48$

100! は3で48回割り切れるので、49回目に割ると初めて整数でなくなる。

3. 最終的な答え

49 回目