1から整数Aまでのすべての整数を掛け合わせた数を300で割ると、商が整数になる。整数Aとして考えられる最小の整数を求める問題です。

1. 問題の内容

1から整数Aまでのすべての整数を掛け合わせた数を300で割ると、商が整数になる。整数Aとして考えられる最小の整数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、300を素因数分解します。

$300 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5^2$

1からAまでの整数をすべて掛け合わせた数、つまりAの階乗（A!）が300で割り切れるためには、A!が$2^2$, $3$, $5^2$を因数に持つ必要があります。

Aが小さい順に考えます。

* A = 1: 1! = 1。300で割り切れません。

* A = 2: 2! = 2。300で割り切れません。

* A = 3: 3! = 6。300で割り切れません。

* A = 4: 4! = 24。300で割り切れません。

* A = 5: 5! = 120。300で割り切れません。

* A = 6: 6! = 720。720/300 = 2.4。整数になりません。

* A = 7: 7! = 5040。5040/300 = 16.8。整数になりません。

* A = 8: 8! = 40320。40320/300 = 134.4。整数になりません。

* A = 9: 9! = 362880。362880/300 = 1209.6。整数になりません。

* A = 10: 10! = 3628800。3628800/300 = 12096。整数になります。

したがって、Aとして考えられる最小の整数は10です。

3. 最終的な答え

10