与えられた数に、できるだけ小さい自然数をかけて、ある自然数の平方（二乗）にしたい場合や、与えられた数をできるだけ小さい自然数で割って、ある自然数の平方（二乗）にしたい場合に、どのような自然数をかければ良いか、あるいは割れば良いかを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数に、できるだけ小さい自然数をかけて、ある自然数の平方（二乗）にしたい場合や、与えられた数をできるだけ小さい自然数で割って、ある自然数の平方（二乗）にしたい場合に、どのような自然数をかければ良いか、あるいは割れば良いかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 90 にかける場合

90 を素因数分解します。

$90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$

平方数にするには、すべての素因数の指数が偶数である必要があります。

90 の素因数分解では、2と5の指数が1なので、2と5をかける必要があります。

したがって、かけるべき数は $2 \times 5 = 10$ です。

(2) 240 にかける場合

240 を素因数分解します。

$240 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^4 \times 3 \times 5$

平方数にするには、すべての素因数の指数が偶数である必要があります。

240 の素因数分解では、3と5の指数が1なので、3と5をかける必要があります。

したがって、かけるべき数は $3 \times 5 = 15$ です。

(3) 168 で割る場合

168 を素因数分解します。

$168 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^3 \times 3 \times 7$

平方数にするには、すべての素因数の指数が偶数である必要があります。

168 の素因数分解では、2, 3, 7 の指数が奇数です。割り算なので、指数が奇数のものを割り切る必要があります。

したがって、割るべき数は $2 \times 3 \times 7 = 42$ です。

(4) 792 で割る場合

792 を素因数分解します。

$792 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11 = 2^3 \times 3^2 \times 11$

平方数にするには、すべての素因数の指数が偶数である必要があります。

792 の素因数分解では、2と11の指数が奇数です。

したがって、割るべき数は $2 \times 11 = 22$ です。

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 15

(3) 42

(4) 22