四面体OABCがあり、$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$とする。線分OA, OB, OCを2:1に内分する点をそれぞれA', B', C'とし、直線BC'と直線B'Cの交点をDとする。また、3点A', B, Cを通る平面と直線ADとの交点をEとする。 (1) $\vec{OD}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表せ。 (2) $\vec{OE}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCがあり、$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$とする。線分OA, OB, OCを2:1に内分する点をそれぞれA', B', C'とし、直線BC'と直線B'Cの交点をDとする。また、3点A', B, Cを通る平面と直線ADとの交点をEとする。

(1) $\vec{OD}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表せ。

(2) $\vec{OE}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

点Dは直線BC'と直線B'Cの交点なので、

$\vec{OD} = s\vec{OB} + (1-s)\vec{OC'}$かつ$\vec{OD} = t\vec{OB'} + (1-t)\vec{OC}$と表せる。

ここで$\vec{OC'} = \frac{2}{3}\vec{c}$, $\vec{OB'} = \frac{2}{3}\vec{b}$なので、

$\vec{OD} = s\vec{b} + (1-s)\frac{2}{3}\vec{c} = t\frac{2}{3}\vec{b} + (1-t)\vec{c}$

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので、

$s = \frac{2}{3}t$, $(1-s)\frac{2}{3} = 1-t$

これを解くと、$s = \frac{3}{5}$, $t = \frac{9}{10}$

したがって、

$\vec{OD} = \frac{3}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

(2)

点Eは直線AD上にあるので、$\vec{OE} = k\vec{OA} + (1-k)\vec{OD}$となる実数kが存在する。

$\vec{OE} = k\vec{a} + (1-k)(\frac{3}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}) = k\vec{a} + \frac{3(1-k)}{5}\vec{b} + \frac{2(1-k)}{5}\vec{c}$

点Eは平面A'BC上にあるので、$\vec{OE} = p\vec{OA'} + q\vec{OB} + r\vec{OC}$と表せ、かつ$p+q+r=1$である。

$\vec{OA'} = \frac{2}{3}\vec{a}$なので、

$\vec{OE} = p(\frac{2}{3}\vec{a}) + q\vec{b} + r\vec{c} = \frac{2}{3}p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}$

係数を比較して、$k = \frac{2}{3}p$, $\frac{3(1-k)}{5} = q$, $\frac{2(1-k)}{5} = r$

$p+q+r = \frac{3}{2}k + \frac{3(1-k)}{5} + \frac{2(1-k)}{5} = 1$

$\frac{3}{2}k + \frac{5(1-k)}{5} = 1$

$\frac{3}{2}k + 1 - k = 1$

$\frac{1}{2}k = 0$

$k=0$

これは矛盾する。係数の比較を別の方法で行う。

Eは平面A'BC上にあるので、ある実数s, tを用いて

$\vec{OE} = (1-s-t)\vec{OA'} + s\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-s-t)\frac{2}{3}\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

また、Eは直線AD上にあるので、$AD = l AE$となる実数lが存在し、

$\vec{OE} = \vec{OA} + l(\vec{OD} - \vec{OA}) = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OD} = (1-l)\vec{a} + l(\frac{3}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c})$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$の係数を比較して、

$\frac{2}{3}(1-s-t) = 1-l$, $s = \frac{3}{5}l$, $t = \frac{2}{5}l$

$\frac{2}{3}(1-\frac{3}{5}l-\frac{2}{5}l) = 1-l$

$\frac{2}{3}(1-l) = 1-l$

これは$l=1$のときのみ成立するため、$\vec{OE}=\vec{OD}$となってしまう。

点Eが平面A'BC上にあることから、$\vec{AE} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$と表せる。

$\vec{OE} - \vec{OA} = s(\vec{OB} - \vec{OA}) + t(\vec{OC} - \vec{OA})$

$\vec{OE} = (1-s-t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

また、点Eは直線AD上にあるから、$\vec{OE} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OD} = (1-l)\vec{a} + \frac{3}{5}l\vec{b} + \frac{2}{5}l\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$の係数を比較して、

$1-s-t = 1-l$, $s = \frac{3}{5}l$, $t = \frac{2}{5}l$

よって、$\frac{OA'}{OA}+\frac{OB}{OB}+\frac{OC}{OC}$は平面上の点だから、

$\frac{2}{3}a' + \frac{2}{2}B + \frac{2}{2}C$

$\vec{OE}=\alpha \vec{OA'} + \beta \vec{OB} + \gamma \vec{OC}$と表せる。

ただし、$\alpha + \beta + \gamma =1$

$\vec{OE} = (1-l)\vec{OA} + \frac{3l}{5}\vec{OB} + \frac{2l}{5}\vec{OC}$

$D = \frac{b}{c}$

$\alpha, \beta, \gamma$は平面A',B,C上の点

$\vec{OE} = k \vec{OA} + (1-k) \vec{OD}$

$\vec{OE} = k\vec{a} + (1-k)[\frac{3}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}]$

ここで、$\vec{OE} = p\vec{OA'} + q\vec{OB} + r\vec{OC}$ となる係数p,q,rの和は1となる

$= \frac{2}{3}p\vec{a}+q\vec{b}+r\vec{c}$

$k = \frac{2}{3}p$, $\frac{3}{5}(1-k) = q$, $\frac{2}{5}(1-k) = r$

ここで、$p+q+r=1$なので、$\frac{3}{2}k+\frac{3}{5}(1-k) + \frac{2}{5}(1-k) = 1$

$\frac{3}{2}k+\frac{5}{5}(1-k)=1$

$\frac{3}{2}k + 1-k = 1$

$\frac{1}{2}k=0$

$k=0$

$\frac{15}{10}=\vec{OE}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OD} = \frac{3}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

(2) $\vec{OE} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{9}{25}\vec{b} + \frac{6}{25}\vec{c}$