(1) 円 $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるような $k$ の範囲を求める。また、直線が円によって切り取られる線分の長さが $2\sqrt{2}$ となるような $k$ の値を2つ求め、小さい順に答える。さらに、円に内接する長方形のうち、一辺の長さが $2\sqrt{2}$ となる長方形の面積を求める。 (2) 2006より大きく2025より小さい数のうち、11を分母とする既約分数の個数と総和を求める。 (3) 円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 2, BC = 3, CD = 4, DA = 5である。$\cos{\angle BAD}$ の値と四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるような $k$ の範囲を求める。また、直線が円によって切り取られる線分の長さが $2\sqrt{2}$ となるような $k$ の値を2つ求め、小さい順に答える。さらに、円に内接する長方形のうち、一辺の長さが $2\sqrt{2}$ となる長方形の面積を求める。

(2) 2006より大きく2025より小さい数のうち、11を分母とする既約分数の個数と総和を求める。

(3) 円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 2, BC = 3, CD = 4, DA = 5である。$\cos{\angle BAD}$ の値と四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の方程式を平方完成すると、$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 4$ となる。これは中心 $(1,3)$、半径 $2$ の円を表す。

直線 $y = -x + k$ を $x + y - k = 0$ と変形し、円の中心からの距離を $d$ とすると、$d = \frac{|1 + 3 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|4 - k|}{\sqrt{2}}$ となる。

円と直線が異なる2点で交わる条件は、$d < 2$ より、$\frac{|4 - k|}{\sqrt{2}} < 2$。

$|4 - k| < 2\sqrt{2}$ となり、$-2\sqrt{2} < 4 - k < 2\sqrt{2}$。

$-4 - 2\sqrt{2} < -k < -4 + 2\sqrt{2}$ より、$4 - 2\sqrt{2} < k < 4 + 2\sqrt{2}$。

したがって、ア=4, イ=2, ウ=2, エ=4, オ=2, カ=2 となる。

直線が円によって切り取られる線分の長さが $2\sqrt{2}$ となる場合、三平方の定理より、$(\sqrt{2})^2 + d^2 = 2^2$。

$2 + d^2 = 4$ より、$d^2 = 2$。$d = \sqrt{2}$。

$\frac{|4 - k|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ より、 $|4 - k| = 2$。

$4 - k = 2$ または $4 - k = -2$。

$k = 2$ または $k = 6$。

小さい順に $k = 2, 6$。

したがって、キ=2, ク=6 となる。

円に内接する長方形の一辺が $2\sqrt{2}$ であるとき、もう一辺を $x$ とすると、$x^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4^2$。

$x^2 + 8 = 16$ より、$x^2 = 8$。$x = 2\sqrt{2}$。

したがって、長方形は正方形であり、面積は $(2\sqrt{2})^2 = 8$。

ケ=8 となる。

(2)

$\frac{2006}{11} = 182.3636...$、$\frac{2025}{11} = 184.0909...$ なので、分母が11で2006より大きく2025より小さい分数は、$\frac{183}{1}$から$\frac{184}{1}$までの整数部分を持つ。分母が11なので、183と184の間にありうる分数は、$\frac{183 \times 11 + 1}{11} = \frac{2014}{11}$から$\frac{183 \times 11 + 10}{11} = \frac{2023}{11}$までと、$\frac{184 \times 11}{11}$までである。

$2006 < 11n < 2025$を満たす整数$n$は$2007/11 \leq n \leq 2024/11$より $182.45... \leq n \leq 184$ となる。

$n=183$のとき、$\frac{2013}{11}から\frac{2023}{11}$までの11個の分数がある。

既約分数でないものは、$\frac{2013}{11} = \frac{3 \times 11 \times 61}{11}$より、既約。

$\frac{2018}{11}$と\frac{2024}{11}は除く必要がある。}

11を分母とする既約分数は $2014/11$から$2023/11$の中で11の倍数になる場合を除けば良い。

既約分数の個数は、2014から2023までの整数で11と互いに素なものを数える。これは10個ある。

2006/11= 182.36

2025/11 = 184.09

183, 184

nを整数とする。11n+k (1<= k <=10)

既約分数 : k/11 (kと11が互いに素)

$\frac{2014}{11}, ..., \frac{2023}{11}$の10個.

既約分数は全部で10個。

$183 \times 10 + (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) = 1830+55 = 1885$

コサシ = 10, スセソタチツ = 1885。

(3)

余弦定理より、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos{\angle BAD} = 2^2 + 5^2 - 2 \times 2 \times 5 \times \cos{\angle BAD} = 29 - 20\cos{\angle BAD}$。

また、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \times BC \times CD \times \cos{\angle BCD} = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos{\angle BCD} = 25 - 24\cos{\angle BCD}$。

円に内接する四角形なので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$。$\cos{\angle BCD} = -\cos{\angle BAD}$。

$29 - 20\cos{\angle BAD} = 25 + 24\cos{\angle BAD}$。

$4 = 44\cos{\angle BAD}$。$\cos{\angle BAD} = \frac{4}{44} = \frac{1}{11}$。

テ=1, トナ=11 となる。

$BD^2 = 29 - 20 \times \frac{1}{11} = 29 - \frac{20}{11} = \frac{319 - 20}{11} = \frac{299}{11}$。

四角形ABCDの面積は、$S = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin{\angle BAD} + \frac{1}{2} \times BC \times CD \times \sin{\angle BCD}$。

$\sin^2{\angle BAD} = 1 - \cos^2{\angle BAD} = 1 - (\frac{1}{11})^2 = 1 - \frac{1}{121} = \frac{120}{121}$。

$\sin{\angle BAD} = \sqrt{\frac{120}{121}} = \frac{2\sqrt{30}}{11}$。

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 5 \times \frac{2\sqrt{30}}{11} + \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{2\sqrt{30}}{11} = \frac{10\sqrt{30}}{11} + \frac{12\sqrt{30}}{11} = \frac{22\sqrt{30}}{11} = 2\sqrt{30}$。

ニ=2, ヌネ=30 となる。

3. 最終的な答え

(1) $4-2\sqrt{2} < k < 4+2\sqrt{2}$。$k=2, 6$。長方形の面積は $8$。

(2) 既約分数は $10$ 個。それらの総和は $1885$。

(3) $\cos{\angle BAD} = \frac{1}{11}$。四角形ABCDの面積は $2\sqrt{30}$。