与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。具体的には、 (1) 中心が原点で半径が3の円 (2) 中心が(2, -1)で半径が1の円 (3) 中心が(2, 3)で点(4, 6)を通る円 (4) (6, 2)と(2, 4)を直径の両端とする円 (5) 中心が(3, 1)でx軸に接する円 の方程式をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。具体的には、

(1) 中心が原点で半径が3の円

(2) 中心が(2, -1)で半径が1の円

(3) 中心が(2, 3)で点(4, 6)を通る円

(4) (6, 2)と(2, 4)を直径の両端とする円

(5) 中心が(3, 1)でx軸に接する円

の方程式をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式は、中心が$(a, b)$、半径が$r$のとき、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

で表されます。

(1) 中心が原点(0, 0)、半径が3なので、$a = 0$, $b = 0$, $r = 3$を代入します。

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$

(2) 中心が(2, -1)、半径が1なので、$a = 2$, $b = -1$, $r = 1$を代入します。

$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 1^2$

(3) 中心が(2, 3)なので、$a = 2$, $b = 3$です。点(4, 6)を通ることから半径$r$を求めます。

$(4 - 2)^2 + (6 - 3)^2 = r^2$

$2^2 + 3^2 = r^2$

$4 + 9 = r^2$

$r^2 = 13$

よって、$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$

(4) 直径の両端が(6, 2)と(2, 4)なので、中心は中点です。

中心の座標は、$(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{6}{2}) = (4, 3)$です。

半径は、中心(4, 3)と端点(6, 2)の距離です。

$r^2 = (6 - 4)^2 + (2 - 3)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$

よって、$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 5$

(5) 中心が(3, 1)でx軸に接するので、半径はy座標の絶対値に等しくなります。

したがって、$r = |1| = 1$です。

よって、$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 9$

(2) $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1$

(3) $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$

(4) $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 5$

(5) $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$