与えられた条件から円の方程式を求める問題です。具体的には、以下の5つの円の方程式を求めます。 (1) 中心が原点、半径が2の円 (2) 中心が点(-3, 1), 半径が3の円 (3) 点(-2, 3)を中心とし、点(2, 5)を通る円 (4) 2点(0, 6), (8, 0)を直径の両端とする円 (5) 中心が点(-4, 2), y軸に接する円

1. 問題の内容

与えられた条件から円の方程式を求める問題です。具体的には、以下の5つの円の方程式を求めます。

(1) 中心が原点、半径が2の円

(2) 中心が点(-3, 1), 半径が3の円

(3) 点(-2, 3)を中心とし、点(2, 5)を通る円

(4) 2点(0, 6), (8, 0)を直径の両端とする円

(5) 中心が点(-4, 2), y軸に接する円

2. 解き方の手順

円の方程式は、中心を$(a, b)$, 半径を$r$とすると、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

で表されます。

(1) 中心が原点(0, 0), 半径が2の円なので、

$a = 0, b = 0, r = 2$を代入します。

(2) 中心が点(-3, 1), 半径が3の円なので、

$a = -3, b = 1, r = 3$を代入します。

(3) 中心が点(-2, 3)で、点(2, 5)を通るので、半径$r$は中心と点(2, 5)の距離で求められます。

$r = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

よって、$a = -2, b = 3, r = \sqrt{20}$を代入します。

(4) 2点(0, 6), (8, 0)を直径の両端とする円なので、中心は2点の中点になります。

中心の座標$(a, b)$は

$a = \frac{0 + 8}{2} = 4$, $b = \frac{6 + 0}{2} = 3$

半径$r$は中心(4, 3)と点(0, 6)の距離で求められます。

$r = \sqrt{(0 - 4)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

よって、$a = 4, b = 3, r = 5$を代入します。

(5) 中心が点(-4, 2)で、y軸に接するので、半径は中心のx座標の絶対値になります。

$r = |-4| = 4$

よって、$a = -4, b = 2, r = 4$を代入します。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 4$

(2) $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9$

(3) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 20$

(4) $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$

(5) $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 16$