三角形ABCにおいて、$b=3, c=2, \angle A=60^\circ$であるとき、この三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=3, c=2, \angle A=60^\circ$であるとき、この三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺aの長さを求めます。

余弦定理は、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

です。与えられた値を代入すると、

$a^2 = 3^2 + 2^2 - 2(3)(2)\cos 60^\circ$

$a^2 = 9 + 4 - 12(\frac{1}{2})$

$a^2 = 13 - 6 = 7$

したがって、$a = \sqrt{7}$となります。

次に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

です。よって、

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{\sqrt{7}}{2\sin 60^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$R = \frac{\sqrt{7}}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

3. 最終的な答え

外接円の半径は $\frac{\sqrt{21}}{3}$ です。