円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=8, BC=3, BD=7, AD=5である。 (1) $\angle BAD$の大きさを求めよ。 (2) 辺CDの長さを求めよ。 (3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=8, BC=3, BD=7, AD=5である。

(1) $\angle BAD$の大きさを求めよ。

(2) 辺CDの長さを求めよ。

(3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$に余弦定理を適用すると、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos{\angle BAD}$

$7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cos{\angle BAD}$

$49 = 64 + 25 - 80 \cos{\angle BAD}$

$80 \cos{\angle BAD} = 40$

$\cos{\angle BAD} = \frac{1}{2}$

$\angle BAD = 60^\circ$

(2) 円に内接する四角形なので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\triangle BCD$に余弦定理を適用すると、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cos{\angle BCD}$

$7^2 = 3^2 + CD^2 - 2 \cdot 3 \cdot CD \cos{120^\circ}$

$49 = 9 + CD^2 - 6CD (-\frac{1}{2})$

$49 = 9 + CD^2 + 3CD$

$CD^2 + 3CD - 40 = 0$

$(CD+8)(CD-5) = 0$

$CD>0$より、CD=5

(3) 四角形ABCDの面積は$\triangle ABD$と$\triangle BCD$の面積の和である。

$\triangle ABD = \frac{1}{2}AB \cdot AD \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin{60^\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

$\triangle BCD = \frac{1}{2}BC \cdot CD \sin{\angle BCD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積 = $10\sqrt{3} + \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{40\sqrt{3}}{4} + \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BAD = 60^\circ$

(2) CD = 5

(3) 四角形ABCDの面積 = $\frac{55\sqrt{3}}{4}$