$\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{9} = \frac{\sin C}{8}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{9} = \frac{\sin C}{8}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は正弦定理と余弦定理を利用して解きます。

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立ちます。

したがって、問題文より、$a:b:c = 11:9:8$ となります。

$a = 11k$, $b = 9k$, $c = 8k$ ($k$は比例定数) とおくことができます。

次に、余弦定理を使って $\cos A$ を求めます。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

ここで、$a = 11k$, $b = 9k$, $c = 8k$ を代入します。

$\cos A = \frac{(9k)^2 + (8k)^2 - (11k)^2}{2(9k)(8k)}$

$\cos A = \frac{81k^2 + 64k^2 - 121k^2}{144k^2}$

$\cos A = \frac{24k^2}{144k^2}$

$\cos A = \frac{24}{144}$

$\cos A = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{1}{6}$