座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0$ と直線 $l: 4x - 3y + a = 0$ がある。ただし、$a$ は正の定数である。以下の問いに答える問題です。 (1) 円 $C$ の中心 $A$ と半径 $r$ を求める。 (2) 点 $A$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線 $m$ の方程式を求め、直線 $l$ が円 $C$ に接するときの $a$ の値を求める。 (3) (2) のとき、直線 $l$ と $m$ の交点を $B$、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-1$ である点を $C$、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $D$ とするとき、3点 $B, C, D$ を通る円の中心 $E$ を求め、$\triangle ADE$ の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0$ と直線 $l: 4x - 3y + a = 0$ がある。ただし、$a$ は正の定数である。以下の問いに答える問題です。

(1) 円 $C$ の中心 $A$ と半径 $r$ を求める。

(2) 点 $A$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線 $m$ の方程式を求め、直線 $l$ が円 $C$ に接するときの $a$ の値を求める。

(3) (2) のとき、直線 $l$ と $m$ の交点を $B$、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-1$ である点を $C$、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $D$ とするとき、3点 $B, C, D$ を通る円の中心 $E$ を求め、$\triangle ADE$ の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 8x + y^2 - 6y + 9 = 0$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) + 9 - 16 - 9 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 16$

よって、円 $C$ の中心 $A$ は $(4, 3)$、半径 $r$ は $4$ である。

(2) 直線 $l: 4x - 3y + a = 0$ の傾きは $\frac{4}{3}$ である。

直線 $m$ は直線 $l$ に垂直なので、傾きは $-\frac{3}{4}$ である。

また、直線 $m$ は点 $A(4, 3)$ を通るので、直線 $m$ の方程式は、

$y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 4)$

$y = -\frac{3}{4}x + 3 + 3$

$y = -\frac{3}{4}x + 6$

直線 $l$ が円 $C$ に接するとき、円 $C$ の中心 $A(4, 3)$ と直線 $l: 4x - 3y + a = 0$ の距離は半径 $r = 4$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|4 \cdot 4 - 3 \cdot 3 + a|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = 4$

$\frac{|16 - 9 + a|}{\sqrt{16 + 9}} = 4$

$\frac{|7 + a|}{5} = 4$

$|7 + a| = 20$

$7 + a = 20$ または $7 + a = -20$

$a = 13$ または $a = -27$

$a$ は正の定数であるので、$a = 13$

(3) (2) のとき、$l: 4x - 3y + 13 = 0$、 $m: y = -\frac{3}{4}x + 6$

交点 $B$ の座標を求める。

$4x - 3(-\frac{3}{4}x + 6) + 13 = 0$

$4x + \frac{9}{4}x - 18 + 13 = 0$

$\frac{25}{4}x = 5$

$x = \frac{4}{5}$

$y = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} + 6 = -\frac{3}{5} + 6 = \frac{27}{5}$

よって、$B(\frac{4}{5}, \frac{27}{5})$

直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-1$ である点 $C$ の $y$ 座標を求める。

$4(-1) - 3y + 13 = 0$

$-4 - 3y + 13 = 0$

$3y = 9$

$y = 3$

よって、$C(-1, 3)$

直線 $m$ と $x$ 軸の交点 $D$ の座標を求める。

$0 = -\frac{3}{4}x + 6$

$\frac{3}{4}x = 6$

$x = 8$

よって、$D(8, 0)$

3点 $B(\frac{4}{5}, \frac{27}{5})$, $C(-1, 3)$, $D(8, 0)$ を通る円の中心 $E(x, y)$ は、$EB = EC = ED$ を満たす。

$EB^2 = (x - \frac{4}{5})^2 + (y - \frac{27}{5})^2$

$EC^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2$

$ED^2 = (x - 8)^2 + y^2$

$EC^2 = ED^2$ より

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 8)^2 + y^2$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 16x + 64 + y^2$

$18x - 6y = 54$

$3x - y = 9$

$y = 3x - 9$

$EB^2 = ED^2$ より

$(x - \frac{4}{5})^2 + (y - \frac{27}{5})^2 = (x - 8)^2 + y^2$

$(x - \frac{4}{5})^2 + (3x - 9 - \frac{27}{5})^2 = (x - 8)^2 + (3x - 9)^2$

$(x - \frac{4}{5})^2 + (3x - \frac{72}{5})^2 = (x - 8)^2 + (3x - 9)^2$

$x^2 - \frac{8}{5}x + \frac{16}{25} + 9x^2 - \frac{432}{5}x + \frac{5184}{25} = x^2 - 16x + 64 + 9x^2 - 54x + 81$

$-\frac{8}{5}x - \frac{432}{5}x + 16x + 54x = 64 + 81 - \frac{16}{25} - \frac{5184}{25}$

$-\frac{440}{5}x + 70x = 145 - \frac{5200}{25}$

$-88x + 70x = 145 - 208$

$-18x = -63$

$x = \frac{7}{2}$

$y = 3 \cdot \frac{7}{2} - 9 = \frac{21}{2} - \frac{18}{2} = \frac{3}{2}$

よって、$E(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$

$A(4, 3)$, $D(8, 0)$, $E(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$

$\triangle ADE$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} |4(0 - \frac{3}{2}) + 8(\frac{3}{2} - 3) + \frac{7}{2}(3 - 0)|$

$S = \frac{1}{2} |4(-\frac{3}{2}) + 8(-\frac{3}{2}) + \frac{7}{2}(3)|$

$S = \frac{1}{2} |-6 - 12 + \frac{21}{2}|$

$S = \frac{1}{2} |-18 + \frac{21}{2}| = \frac{1}{2} |-\frac{36}{2} + \frac{21}{2}| = \frac{1}{2} |-\frac{15}{2}| = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $A(4, 3)$, $r = 4$

(2) $y = -\frac{3}{4}x + 6$, $a = 13$

(3) $E(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})$, $S = \frac{15}{4}$