円に内接する四角形に関する問題です。 (1) 円弧CEと円弧EDの長さの比を求めます。 (2) 線分AQ=6, QC=1のとき、線分PDの長さを求めます。ただし、$∠APB = 30°$, $∠PAC = 60°$, 円弧AB+円弧CDは円周の$2/3$です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形に関する問題です。

(1) 円弧CEと円弧EDの長さの比を求めます。

(2) 線分AQ=6, QC=1のとき、線分PDの長さを求めます。ただし、$∠APB = 30°$, $∠PAC = 60°$, 円弧AB+円弧CDは円周の$2/3$です。

2. 解き方の手順

(1) 円弧AB+円弧CDは円周の$2/3$なので、円弧BC+円弧DAは円周の$1/3$です。

円周角の定理より、$∠BAC+∠CDA = 360°*(2/3)*(1/2) = 120°$.

$∠PAC=60°$より、$∠BAC = 60°-∠PAC = 60°-30° =30°$.

よって、$∠CDA = 120° - 30° = 90°$.

また、$∠APB = 30°$より、$∠CAD = ∠CDA - ∠APD = 90°-30° = 60°$.

円弧BC+円弧DAの円周角は$∠BAC+∠CDA = 30°+60° = 30°$なので、円弧BC+円弧DAは円周の$1/3$です。よって、$∠BAC+∠CDA = 180°/3 = 60°$。

$∠CAD=30°$なので、$∠CBD = 30°$

$∠APB = 30°$より、$∠CAD+∠CBD = 30°$

$∠ACB = ∠ADB$なので、$∠BEC = ∠AED$。

$∠CAE = ∠CBE$.

また、$∠PAC=60°$, $∠APB=30°$より、$∠CAD=30°$

$∠BAD=∠BCD$, $∠ABC=∠ADC$.

円弧CEに対する円周角は$∠CAE$, 円弧EDに対する円周角は$∠ECD$.

$∠CAE = ∠CBE$, $∠ECD=∠EAD$.

$∠PAE=∠PBC$.

四角形ABDCは円に内接するので、$∠ABC+∠ADC = 180°$.

円弧AB+円弧CDは円周の$2/3$なので、対応する中心角の和は$360*(2/3) = 240°$. 対応する円周角の和は$120°$.

$∠ACB=∠AEB=∠ADB=∠AEB$.

円弧CE:円弧ED = $∠CAE:∠DAE = ∠CBE : ∠DAE$.

$∠ACB = 90°$なので、$∠AEB = 90°$つまり$AB$は直径.

$∠AEB = ∠BEC$.

$∠CAE = ∠EBD$

$∠ECD = ∠EAD$

$∠EBD = ∠EAD$. よって、$∠CAE=∠ECD$.

円弧CEに対する円周角$∠CAE$、円弧EDに対する円周角$∠EAD$なので、円弧CE:円弧ED = $∠CAE:∠EAD = ∠CBE : ∠EAD$.

$∠PAC=60°$,$∠APB=30°$なので、方べきの定理より、$PC*PE=PA*PD$。

また、$AQ=6$, $QC=1$なので、$AC = AQ+QC = 6+1 = 7$.

$ΔPAC$において、正弦定理より、$PC/sin∠PAC = AC/sin∠APC = PA/sin∠ACP$。

円弧AB+円弧CDは円周の$2/3$より、$∠ACB+∠CAD=60°$。

$∠CE:∠ED =∠PAC-∠APB : ∠APB = 60-30 :30 = 30:30 = 1:1$.

CE:ED=1:1

(2) 方べきの定理より、$PC*PB = PA*PD$

$PC=AQ+QC=7, PB=x$, $PA$, $PD$

方べきの定理より、$PC*PE=AQ*QB$

$AQ*QC = BQ*QA$

$AE=6, QC=1$.

$AC=7$。$AC*AB = AP*AD$.

3. 最終的な答え

(1) CE:ED=1:1

(2) PD=8