$\triangle OAB$において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とおく。実数 $s, t$ が $0 \le s \le 2$, $0 \le t \le 3$ を満たすとき、点 $P$ の存在する範囲を求める。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とおく。実数 $s, t$ が $0 \le s \le 2$, $0 \le t \le 3$ を満たすとき、点 $P$ の存在する範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$ および $\overrightarrow{OB'} = 3\overrightarrow{OB}$ となる点 $A', B'$ を定める。すると、

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = \frac{s}{2} \cdot 2\overrightarrow{OA} + \frac{t}{3} \cdot 3\overrightarrow{OB} = \frac{s}{2}\overrightarrow{OA'} + \frac{t}{3}\overrightarrow{OB'}$

ここで、$s' = \frac{s}{2}$, $t' = \frac{t}{3}$ とおくと、$0 \le s' \le 1$, $0 \le t' \le 1$ である。

よって、

$\overrightarrow{OP} = s'\overrightarrow{OA'} + t'\overrightarrow{OB'}$

点 $P$ は、平行四辺形 $OA'CB'$ の内部および周上にある。

したがって、点 $P$ の存在する範囲は、四角形 $OA'CB'$ の内部および周上である。

3. 最終的な答え

点 $P$ の存在する範囲は、四角形 $OA'CB'$ の内部および周上である。ただし、点 $A', B'$ はそれぞれ $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB'} = 3\overrightarrow{OB}$ を満たす点である。つまり, 辺OAを2倍に伸ばした点A'と、辺OBを3倍に伸ばした点B'によって作られる平行四辺形の内部および周上である。