鋭角三角形OABにおいて、辺ABを1:2に内分する点をCとする。頂点Aから辺OBに下ろした垂線をADとし、線分OCとADの交点をPとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{OC}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。 (2) $\overrightarrow{OD} = t\vec{b}$ ($0 < t < 1$)とするとき、$t$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

鋭角三角形OABにおいて、辺ABを1:2に内分する点をCとする。頂点Aから辺OBに下ろした垂線をADとし、線分OCとADの交点をPとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{OC}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{OD} = t\vec{b}$ ($0 < t < 1$)とするとき、$t$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点Cは辺ABを1:2に内分する点なので、内分点の公式より

$\overrightarrow{OC} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 1\overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

(2) ADはOBに垂直であるから$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$。

$\overrightarrow{OD} = t\vec{b}$より$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = t\vec{b} - \vec{a}$。

したがって、 $(t\vec{b} - \vec{a})\cdot \vec{b} = 0$。

$t |\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$t = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OC} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

(2) $t = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$