三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを3:1に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分するとき、線分COと線分ORの比CO:ORを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを3:1に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分するとき、線分COと線分ORの比CO:ORを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AC} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{3}{1} = 1$

$\frac{BC}{CQ} = \frac{2}{3}$

したがって、$\frac{BC}{BQ} = \frac{2}{3}$.

次に、メネラウスの定理より、直線BQが三角形ARCと交わっているので、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{OC} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{BO}{OC} = 6$

したがって、$\frac{CO}{BO} = \frac{1}{6}$.

ここで、メネラウスの定理を用いて、直線COが三角形ARBと交わっていると考えると、

$\frac{AC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OR} \cdot \frac{RB}{BA} = 1$

$\frac{4}{1} \cdot \frac{QO}{OR} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{QO}{OR} = \frac{3}{8}$

よって、$\frac{OR}{QO} = \frac{8}{3}$.

ここで、AC=AQ+QCより、$AQ = \frac{3}{4}AC$.

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AQ} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AR}$.

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AO}$.

$\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{2}{9}\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{2}{9}\overrightarrow{AB}$.

メネラウスの定理より、$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} =1$.

チェバの定理より、$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BC}{CQ}\cdot \frac{QO}{OA}=1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$.

$\frac{AQ}{QC} = \frac{3}{1}$.

$\frac{BC}{CQ} = \frac{8}{3}$.

$\frac{BO}{OR} = 5$.

$\frac{QO}{OA} = \frac{3}{8}$.

線分比の公式を用いる。

CO:OR=8:3

3. 最終的な答え

8:3