円と直線に関する図形の問題で、線分ACの長さが3、線分BCの長さが4、線分BDの長さが8であるとき、線分ABの長さを求めます。円の接線と弦に関する性質を利用します。

1. 問題の内容

円と直線に関する図形の問題で、線分ACの長さが3、線分BCの長さが4、線分BDの長さが8であるとき、線分ABの長さを求めます。円の接線と弦に関する性質を利用します。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理を理解する必要があります。点Aから円に対して接線ACと割線ABDが引かれているとき、以下の関係が成り立ちます。

$AC^2 = AB \cdot AD$

また、AD = AB + BDという関係があります。

この問題では、AC = 3, BC = 4, BD = 8です。ABの長さをxとすると、AD = x + 8となります。方べきの定理の式に代入すると、

$3^2 = x(x + 8)$

$9 = x^2 + 8x$

$x^2 + 8x - 9 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(x + 9)(x - 1) = 0$

よって、x = -9 または x = 1となります。

線分の長さは負の値を取らないので、x = 1です。

3. 最終的な答え

線分ABの長さは1です。