与えられた4つの二次関数について、グラフの概形を描き、その放物線が上に凸か下に凸かを答える問題です。関数は以下の通りです。 (1) $y = 3x^2$ (2) $y = -2x^2$ (3) $y = \frac{1}{4}x^2$ (4) $y = -\frac{1}{2}x^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの二次関数について、グラフの概形を描き、その放物線が上に凸か下に凸かを答える問題です。関数は以下の通りです。

(1) $y = 3x^2$

(2) $y = -2x^2$

(3) $y = \frac{1}{4}x^2$

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2$

2. 解き方の手順

二次関数 $y = ax^2$ のグラフは、原点を頂点とする放物線になります。

- $a > 0$ のとき、放物線は下に凸になります。

- $a < 0$ のとき、放物線は上に凸になります。

(1) $y = 3x^2$ の場合、$a = 3 > 0$ なので、下に凸です。x=1のときy=3なので、(1,3)を通る。グラフは添付画像に描かれているものと同様です。

(2) $y = -2x^2$ の場合、$a = -2 < 0$ なので、上に凸です。x=1のときy=-2なので、(1,-2)を通る。グラフは添付画像に描かれているものと同様です。

(3) $y = \frac{1}{4}x^2$ の場合、$a = \frac{1}{4} > 0$ なので、下に凸です。x=2のときy=1なので、(2,1)を通る放物線になります。

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2$ の場合、$a = -\frac{1}{2} < 0$ なので、上に凸です。x=2のときy=-2なので、(2,-2)を通る放物線になります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2$: 下に凸

(2) $y = -2x^2$: 上に凸

(3) $y = \frac{1}{4}x^2$: 下に凸

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2$: 上に凸