与えられた問題は、$(\sqrt{2}+1)^3 + (\sqrt{2}-1)^3$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$(\sqrt{2}+1)^3 + (\sqrt{2}-1)^3$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$a = \sqrt{2}+1$、$b = \sqrt{2}-1$ とおきます。

求める値は $a^3 + b^3$ です。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ という公式を利用します。

または、$a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ という公式を利用することもできます。

$a+b = (\sqrt{2}+1) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}$

$ab = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

ここで、$a+b$ と $ab$ の値を、$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ に代入します。

$(a+b)^3 = (2\sqrt{2})^3 = 2^3 (\sqrt{2})^3 = 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

$3ab(a+b) = 3 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

したがって、

$a^3 + b^3 = 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$10\sqrt{2}$