与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数を分母と分子の両方に掛けます。分母 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ の共役な複素数は $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ です。

したがって、次の計算を行います。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

分母を展開します。

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、

$\frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = \frac{2(4 + \sqrt{15})}{2} = 4 + \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$4 + \sqrt{15}$