与えられた連立不等式を解き、$x$ の範囲を求めます。連立不等式は以下の通りです。 $2x - 5 \le 9x + 3$ $x^2 - 2x - 7 \le 0$

1. 問題の内容

与えられた連立不等式を解き、$x$ の範囲を求めます。連立不等式は以下の通りです。

$2x - 5 \le 9x + 3$

$x^2 - 2x - 7 \le 0$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式を解きます。

$2x - 5 \le 9x + 3$

$-7x \le 8$

$x \ge -\frac{8}{7}$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$x^2 - 2x - 7 \le 0$

二次方程式 $x^2 - 2x - 7 = 0$ の解を求めます。解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$x^2 - 2x - 7 \le 0$ の解は $1 - 2\sqrt{2} \le x \le 1 + 2\sqrt{2}$ となります。

$1 - 2\sqrt{2} \approx 1 - 2(1.414) = 1 - 2.828 = -1.828$

$1 + 2\sqrt{2} \approx 1 + 2(1.414) = 1 + 2.828 = 3.828$

したがって、二つ目の不等式の解は約 $-1.828 \le x \le 3.828$ となります。

連立不等式の解は、$x \ge -\frac{8}{7}$ と $1 - 2\sqrt{2} \le x \le 1 + 2\sqrt{2}$ の共通部分です。

$-\frac{8}{7} \approx -1.143$ なので、 $-\frac{8}{7} > 1 - 2\sqrt{2}$ が成り立ちます。

したがって、連立不等式の解は $-\frac{8}{7} \le x \le 1 + 2\sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{8}{7} \le x \le 1 + 2\sqrt{2}$