変数 $x, y$ が関係式 $xy = 10^3$ を満たし、かつ $x \ge 10, y \ge 10$ の範囲を動くとき、以下の問いに答える。 (1) $\log_{10}x$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) $(\log_{10}x)(\log_{10}y)$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

変数 $x, y$ が関係式 $xy = 10^3$ を満たし、かつ $x \ge 10, y \ge 10$ の範囲を動くとき、以下の問いに答える。

(1) $\log_{10}x$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) $(\log_{10}x)(\log_{10}y)$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $xy = 10^3$ より、$y = \frac{10^3}{x}$ である。$y \ge 10$ より、$\frac{10^3}{x} \ge 10$ となる。両辺に $x$ をかけて（$x>0$ より不等号の向きは変わらない）、$10^3 \ge 10x$。よって、$x \le \frac{10^3}{10} = 10^2 = 100$。

$x \ge 10$ より、$10 \le x \le 100$。

$\log_{10}$ は単調増加関数であるから、$\log_{10}10 \le \log_{10}x \le \log_{10}100$。

$\log_{10}10 = 1$、$\log_{10}100 = \log_{10}10^2 = 2$ より、$1 \le \log_{10}x \le 2$。

(2) $(\log_{10}x)(\log_{10}y)$ の最大値を求める。

$xy = 10^3$ より、$\log_{10}(xy) = \log_{10}10^3$。

$\log_{10}x + \log_{10}y = 3$。

$\log_{10}y = 3 - \log_{10}x$。

$(\log_{10}x)(\log_{10}y) = (\log_{10}x)(3 - \log_{10}x) = 3\log_{10}x - (\log_{10}x)^2$。

$t = \log_{10}x$ とおくと、$1 \le t \le 2$ であり、$3t - t^2 = -(t^2 - 3t) = -(t^2 - 3t + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$。

これは上に凸な放物線であり、軸は $t = \frac{3}{2}$ である。$1 \le t \le 2$ より、この範囲で最大値をとるのは $t = \frac{3}{2}$ のとき。

最大値は $\frac{9}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $1 \le \log_{10}x \le 2$

(2) $\frac{9}{4}$