$x = \frac{2}{\sqrt{8} + \sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{8} + \sqrt{2}}{9}$ のとき、$x - 3y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{8} + \sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{8} + \sqrt{2}}{9}$ のとき、$x - 3y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ を簡略化します。$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ なので、

$x = \frac{2}{2\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}}$

次に、分母を有理化します。

$x = \frac{2}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

次に、$y$ を簡略化します。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ なので、

$y = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{2}}{9} = \frac{3\sqrt{2}}{9} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

最後に、$x - 3y$ を計算します。

$x - 3y = \frac{\sqrt{2}}{3} - 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3} - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{3\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{3} = \frac{-2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$