実数 $a$ に対して、命題「$a=5$ ならば $a^2 = 25$ である」の対偶とその真偽を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、命題「$a=5$ ならば $a^2 = 25$ である」の対偶とその真偽を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題「$p$ ならば $q$ である」の対偶は、「$q$ でないならば $p$ でない」です。

ここで、$p$ は「$a=5$」であり、$q$ は「$a^2=25$」です。

したがって、「$q$ でない」は「$a^2 \neq 25$」であり、「$p$ でない」は「$a \neq 5$」です。

よって、与えられた命題の対偶は「$a^2 \neq 25$ ならば $a \neq 5$ である」となります。

次に、対偶の真偽を調べます。

$a^2 \neq 25$ ということは、$a \neq 5$ かつ $a \neq -5$ であることを意味します。したがって、$a$ が $-5$ の場合、$a^2=25$ であっても $a=-5$ ですから、$a \neq 5$ が成り立ちます。よって、対偶は真です。

別解として、元の命題が真であることを確認し、元の命題と対偶の真偽が一致することを利用することもできます。

$a=5$ ならば $a^2 = 5^2 = 25$ ですから、元の命題は真です。したがって、対偶も真です。

3. 最終的な答え

対偶は「$a^2 \neq 25$ ならば $a \neq 5$ である」であり、真偽は「真」である。