2つの正の実数 $x, y$ について、命題「$x^2 + y^2 \ge 6$ ならば、$x, y$ のうち少なくとも一方は $\sqrt{3}$ 以上である」の真偽を、対偶を利用して判定する。

1. 問題の内容

2つの正の実数 $x, y$ について、命題「$x^2 + y^2 \ge 6$ ならば、$x, y$ のうち少なくとも一方は $\sqrt{3}$ 以上である」の真偽を、対偶を利用して判定する。

2. 解き方の手順

与えられた命題を(*)とする。(*)の対偶を考える。

(*)の対偶は、「$x, y$ のどちらも $\sqrt{3}$ より小さいならば、$x^2 + y^2 < 6$ である」となる。

$0 < x < \sqrt{3}$ かつ $0 < y < \sqrt{3}$ を仮定する。このとき、$x^2 < 3$ かつ $y^2 < 3$ である。

したがって、$x^2 + y^2 < 3 + 3 = 6$ となる。

対偶が真であるから、元の命題(*)も真である。

3. 最終的な答え

命題(*)は真である。