与えられた6つの二重根号の式を簡単にします。二重根号とは、根号の中に根号がある式のことです。

1. 問題の内容

与えられた6つの二重根号の式を簡単にします。二重根号とは、根号の中に根号がある式のことです。

2. 解き方の手順

二重根号 $\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ を外すには、以下の公式を利用します。

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

ただし、以下の変形を利用する場合もあります。

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|$

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

$4+2\sqrt{3} = (3+1)+2\sqrt{3\times1} = (\sqrt{3}+\sqrt{1})^2$

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$

$5-2\sqrt{6} = (3+2)-2\sqrt{3\times2} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$

$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{9+2\sqrt{14}}$

$9+2\sqrt{14} = (7+2)+2\sqrt{7\times2} = (\sqrt{7}+\sqrt{2})^2$

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}+\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{11-2\sqrt{18}}$

$11-2\sqrt{18} = (9+2)-2\sqrt{9\times2} = (\sqrt{9}-\sqrt{2})^2 = (3-\sqrt{2})^2$

$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} = 3-\sqrt{2}$

(5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

$4-\sqrt{15} = \frac{8-2\sqrt{15}}{2} = \frac{(5+3)-2\sqrt{5\times3}}{2} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{2}$

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(6) $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$

$\sqrt{6-3\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12-6\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{12-2\sqrt{27}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{9}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{7}+\sqrt{2}$

(4) $3-\sqrt{2}$

(5) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(6) $\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$