座標平面上の4点 A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1), D(1, 0) が与えられています。実数 $0 < t < 1$ に対して、線分AB, BC, CDを $t : (1 - t)$ に内分する点をそれぞれ $P_t, Q_t, R_t$ とし、線分 $P_tQ_t, Q_tR_t$ を $t : (1 - t)$ に内分する点をそれぞれ $S_t, T_t$ とします。さらに、線分 $S_tT_t$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $U_t$ とします。また、点Aを $U_0$, 点Dを $U_1$ とします。 (1) 点 $U_t$ の座標を求めてください。 (2) $t$ が $0 \leq t \leq 1$ の範囲を動くときに点 $U_t$ が描く曲線と、線分ADで囲まれた部分の面積を求めてください。 (3) $a$ を $0 < a < 1$ を満たす実数とします。 $t$ が $0 \leq t \leq a$ の範囲を動くときに点 $U_t$ が描く曲線の長さを、$a$ の多項式の形で求めてください。

1. 問題の内容

座標平面上の4点 A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1), D(1, 0) が与えられています。実数 $0 < t < 1$ に対して、線分AB, BC, CDを $t : (1 - t)$ に内分する点をそれぞれ $P_t, Q_t, R_t$ とし、線分 $P_tQ_t, Q_tR_t$ を $t : (1 - t)$ に内分する点をそれぞれ $S_t, T_t$ とします。さらに、線分 $S_tT_t$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $U_t$ とします。また、点Aを $U_0$, 点Dを $U_1$ とします。

(1) 点 $U_t$ の座標を求めてください。

(2) $t$ が $0 \leq t \leq 1$ の範囲を動くときに点 $U_t$ が描く曲線と、線分ADで囲まれた部分の面積を求めてください。

(3) $a$ を $0 < a < 1$ を満たす実数とします。 $t$ が $0 \leq t \leq a$ の範囲を動くときに点 $U_t$ が描く曲線の長さを、$a$ の多項式の形で求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P_t, Q_t, R_t$ の座標を求めます。

$P_t = (1 - t)A + tB = (1 - t)(0, 0) + t(0, 1) = (0, t)$

$Q_t = (1 - t)B + tC = (1 - t)(0, 1) + t(1, 1) = (t, 1)$

$R_t = (1 - t)C + tD = (1 - t)(1, 1) + t(1, 0) = (1, 1 - t)$

次に、点 $S_t, T_t$ の座標を求めます。

$S_t = (1 - t)P_t + tQ_t = (1 - t)(0, t) + t(t, 1) = (t^2, t - t^2 + t) = (t^2, 2t - t^2)$

$T_t = (1 - t)Q_t + tR_t = (1 - t)(t, 1) + t(1, 1 - t) = (t - t^2 + t, 1 - t + t - t^2) = (2t - t^2, 1 - t^2)$

最後に、点 $U_t$ の座標を求めます。

$U_t = (1 - t)S_t + tT_t = (1 - t)(t^2, 2t - t^2) + t(2t - t^2, 1 - t^2) = (t^2 - t^3 + 2t^2 - t^3, 2t - t^2 - 2t^2 + t^3 + t - t^3) = (3t^2 - 2t^3, 3t - 3t^2)$

(2) $U_t = (x(t), y(t)) = (3t^2 - 2t^3, 3t - 3t^2)$ とします。線分ADは $y=0$ ($0 \le x \le 1$) です。

求める面積は $\int_0^1 |y(t)| |\frac{dx}{dt}| dt = \int_0^1 |3t-3t^2||6t - 6t^2|dt = \int_0^1 (3t - 3t^2)(6t-6t^2) dt = \int_0^1 18(t^2 - 2t^3 + t^4) dt = 18[\frac{t^3}{3} - \frac{2t^4}{4} + \frac{t^5}{5}]_0^1 = 18(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}) = 18(\frac{10 - 15 + 6}{30}) = 18(\frac{1}{30}) = \frac{3}{5}$

(3) $x'(t) = 6t - 6t^2$, $y'(t) = 3 - 6t$.

曲線の長さは $\int_0^a \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_0^a \sqrt{(6t - 6t^2)^2 + (3 - 6t)^2} dt = \int_0^a \sqrt{36t^2 - 72t^3 + 36t^4 + 9 - 36t + 36t^2} dt = \int_0^a \sqrt{36t^4 - 72t^3 + 72t^2 - 36t + 9} dt = \int_0^a \sqrt{9(4t^4 - 8t^3 + 8t^2 - 4t + 1)} dt = \int_0^a 3\sqrt{4t^4 - 8t^3 + 8t^2 - 4t + 1} dt = \int_0^a 3|2t^2 - 2t - 1| dt$

$2t^2 - 2t - 1 = 0$ となるのは $t = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$. $\frac{1 + \sqrt{3}}{2} > 1$ なので, $0 \le t \le a < 1$ で $2t^2 - 2t - 1 < 0$.

$\int_0^a 3(-2t^2 + 2t + 1) dt = 3[- \frac{2}{3}t^3 + t^2 + t]_0^a = 3(-\frac{2}{3}a^3 + a^2 + a) = -2a^3 + 3a^2 + 3a$

3. 最終的な答え

(1) $U_t = (3t^2 - 2t^3, 3t - 3t^2)$

(2) $\frac{3}{5}$

(3) $-2a^3 + 3a^2 + 3a$