与えられた不等式 $ |x+2| + |x-1| < 4 $ を解け。絶対値記号が含まれているため、場合分けをして解く。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|x+2| + |x-1| < 4$ を解け。絶対値記号が含まれているため、場合分けをして解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、以下の3つの場合に分けて考える。

場合1: $x < -2$ のとき

$|x+2| = -(x+2)$ かつ $|x-1| = -(x-1)$ となるので、不等式は

$-(x+2) - (x-1) < 4$

$-x - 2 - x + 1 < 4$

$-2x - 1 < 4$

$-2x < 5$

$x > -\frac{5}{2}$

したがって、 $-\frac{5}{2} < x < -2$

場合2: $-2 \le x < 1$ のとき

$|x+2| = x+2$ かつ $|x-1| = -(x-1)$ となるので、不等式は

$(x+2) - (x-1) < 4$

$x + 2 - x + 1 < 4$

$3 < 4$

この不等式は常に成り立つ。したがって、$-2 \le x < 1$

場合3: $x \ge 1$ のとき

$|x+2| = x+2$ かつ $|x-1| = x-1$ となるので、不等式は

$(x+2) + (x-1) < 4$

$x + 2 + x - 1 < 4$

$2x + 1 < 4$

$2x < 3$

$x < \frac{3}{2}$

したがって、$1 \le x < \frac{3}{2}$

上記3つの場合を合わせると、

$-\frac{5}{2} < x < -2$, $-2 \le x < 1$, $1 \le x < \frac{3}{2}$

より、 $-\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2}$