次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{7} (6x^2 - 7) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{7} (6x^2 - 7) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分範囲を結合します。

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

したがって、

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{7} (6x^2 - 7) dx = \int_{1}^{7} (6x^2 - 7) dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (6x^2 - 7) dx = 6 \int x^2 dx - 7 \int dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 7x + C = 2x^3 - 7x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

定積分を計算します。

$\int_{1}^{7} (6x^2 - 7) dx = [2x^3 - 7x]_{1}^{7} = (2 \cdot 7^3 - 7 \cdot 7) - (2 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1) = (2 \cdot 343 - 49) - (2 - 7) = (686 - 49) - (-5) = 637 + 5 = 642$

3. 最終的な答え

642