図に示された10.0 Nの力 $F$ が点Oのまわりに作るモーメントを求めます。格子線間隔は0.10 mで、左回りを正とします。有効数字は2桁で答えます。力 $F$ は、点Oから数えて縦方向に2格子、横方向に3格子の位置にかかっています。力 $F$ とO点を結ぶ線は水平方向に対し30°傾いています。

1. 問題の内容

図に示された10.0 Nの力 $F$ が点Oのまわりに作るモーメントを求めます。格子線間隔は0.10 mで、左回りを正とします。有効数字は2桁で答えます。力 $F$ は、点Oから数えて縦方向に2格子、横方向に3格子の位置にかかっています。力 $F$ とO点を結ぶ線は水平方向に対し30°傾いています。

2. 解き方の手順

力のモーメント $M$ は、力の大きさ $F$ と、回転軸からの距離 $r$ （力の作用線までの距離）の積で与えられます。つまり、

$M = rF$

まず、点Oから力の作用線までの距離 $r$ を計算します。点Oから力の作用線に下ろした垂線の足を考えます。この垂線と力 $F$ を含む直線、および点Oと力点を含む直線で三角形ができます。

この三角形において、点Oと力点を結ぶ線の長さは、ピタゴラスの定理より、

$\sqrt{(2 \times 0.10 \ m)^2 + (3 \times 0.10 \ m)^2} = \sqrt{0.04 + 0.09} \ m = \sqrt{0.13} \ m$

この三角形の力点における角度は30°です。したがって、点Oから力の作用線までの距離 $r$ は、

$r = \sqrt{0.13} \ m \times \sin(30^\circ)$

または、モーメントの計算においては、力を分解してそれぞれの成分によるモーメントの和を計算してもよいです。

$F_x = F \cos(30^\circ)$

$F_y = F \sin(30^\circ)$

$F_x$によるモーメントは$M_x = 2(0.10)F_x$であり、$F_y$によるモーメントは$M_y = 3(0.10)F_y$である。

これらのモーメントの和は

$M = M_x - M_y = 0.2 F \cos(30^\circ) - 0.3 F \sin(30^\circ)$

$M = F(0.2 \cos(30^\circ) - 0.3 \sin(30^\circ))$

$M = 10.0 (0.2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 0.3 \times \frac{1}{2})$

$M = 10.0 (0.1 \sqrt{3} - 0.15)$

$M = 10.0 (0.1 \times 1.732 - 0.15) = 10.0 (0.1732 - 0.15) = 10.0(0.0232) = 0.232$

符号に注意すると、

モーメントは $F$ の $y$ 成分によって時計回り、 $x$ 成分によって反時計回りに回転させようとします。

距離を求める方法に戻ると、

$r = \sqrt{0.13} \sin(30^\circ) = \sqrt{0.13} \times 0.5 \ m \approx 0.3606 \times 0.5 = 0.1803 \ m$

したがって、モーメントは

$M = rF = 0.1803 \ m \times 10.0 \ N = 1.803 \ N \cdot m$

力 $F$ による回転方向は時計回りなので負のモーメントである。符号を考慮すると、力のモーメントは $M = -0.23 N \cdot m$

3. 最終的な答え

-0.23 N・m