2次関数 $y = x^2 - 3x$ の $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 3x$ の $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 3x = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

この関数は下に凸な放物線であり、頂点の座標は $(\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$ です。

定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めるために、頂点のx座標 $\frac{3}{2}$ が定義域に含まれているか確認します。$\frac{3}{2}$ は $0 \le x \le 4$ の範囲に含まれています。

頂点での値は $y = -\frac{9}{4}$ です。これは最小値の候補となります。

次に、定義域の端点での値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 - 3(0) = 0$

$x = 4$ のとき、$y = 4^2 - 3(4) = 16 - 12 = 4$

したがって、定義域内の値は $0 \le x \le 4$ より、$y = -\frac{9}{4}, 0, 4$ となります。

これらの値のうち、最小の値が最小値、最大の値が最大値となります。

最小値は $-\frac{9}{4}$ で、最大値は $4$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 4 (x=4のとき)

最小値: $-\frac{9}{4}$ (x=$\frac{3}{2}$のとき)