次の2つの関数の $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 3x$ (2) $y = (x^2 - 3x)^2 - 4(x^2 - 3x) + 3$

1. 問題の内容

次の2つの関数の $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 3x$

(2) $y = (x^2 - 3x)^2 - 4(x^2 - 3x) + 3$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 3x$ について

まず、平方完成を行います。

$y = x^2 - 3x = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

この関数は下に凸の放物線であり、軸は $x = \frac{3}{2}$ です。

定義域 $0 \le x \le 4$ において、

$x = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $y = -\frac{9}{4}$ を取ります。

次に、定義域の端点での値を調べます。

$x = 0$ のとき $y = 0^2 - 3(0) = 0$

$x = 4$ のとき $y = 4^2 - 3(4) = 16 - 12 = 4$

したがって、最大値は $y = 4$ ($x = 4$ のとき) となります。

(2) $y = (x^2 - 3x)^2 - 4(x^2 - 3x) + 3$ について

$t = x^2 - 3x$ とおきます。

すると、$y = t^2 - 4t + 3$ となります。

さらに平方完成を行います。

$y = (t - 2)^2 - 1$

(1) より、$0 \le x \le 4$ において、$x^2 - 3x$ の値域は $-\frac{9}{4} \le t \le 4$ です。

$y = (t - 2)^2 - 1$ は下に凸の放物線で、軸は $t = 2$ です。

したがって、$t = 2$ のとき最小値 $y = -1$ をとります。

$t = -\frac{9}{4}$ のとき、$y = (-\frac{9}{4} - 2)^2 - 1 = (-\frac{17}{4})^2 - 1 = \frac{289}{16} - 1 = \frac{273}{16} = 17.0625$

$t = 4$ のとき、$y = (4 - 2)^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

したがって、最大値は $y = \frac{273}{16}$ ($t = -\frac{9}{4}$ のとき) となります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 4 (x=4のとき), 最小値: -9/4 (x=3/2のとき)

(2) 最大値: 273/16 (x=3/2のとき), 最小値: -1 (x=(3±√13)/2のとき)

ただし、x=(3-√13)/2は条件を満たさないため、x=(3+√13)/2のみ。