与えられた式 $-\sqrt{(-a)^2} + \sqrt{a^2(a-1)^2}$ の根号を外し、次の3つの場合について簡単にせよ。 (1) $a \ge 1$ (2) $0 \le a < 1$ (3) $a < 0$

1. 問題の内容

与えられた式 $-\sqrt{(-a)^2} + \sqrt{a^2(a-1)^2}$ の根号を外し、次の3つの場合について簡単にせよ。

(1) $a \ge 1$

(2) $0 \le a < 1$

(3) $a < 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を簡単にします。

$\sqrt{x^2} = |x|$ であることを利用します。

$\sqrt{(-a)^2} = |-a| = |a|$

$\sqrt{a^2(a-1)^2} = \sqrt{a^2} \sqrt{(a-1)^2} = |a||a-1|$

よって、与えられた式は

$-|a| + |a||a-1|$

となります。

(1) $a \ge 1$ のとき、$a > 0$ かつ $a-1 \ge 0$ であるから、$|a|=a$ かつ $|a-1| = a-1$ なので、

$-|a| + |a||a-1| = -a + a(a-1) = -a + a^2 - a = a^2 - 2a$

(2) $0 \le a < 1$ のとき、$a \ge 0$ かつ $a-1 < 0$ であるから、$|a|=a$ かつ $|a-1| = -(a-1) = 1-a$ なので、

$-|a| + |a||a-1| = -a + a(1-a) = -a + a - a^2 = -a^2$

(3) $a < 0$ のとき、$|a| = -a$ かつ $a-1 < 0$ であるから、$|a-1| = -(a-1) = 1-a$ なので、

$-|a| + |a||a-1| = -(-a) + (-a)(1-a) = a + (-a + a^2) = a + a^2 - a = a^2$

3. 最終的な答え

(1) $a \ge 1$ のとき: $a^2 - 2a$

(2) $0 \le a < 1$ のとき: $-a^2$

(3) $a < 0$ のとき: $a^2$