与えられた定積分の値を求めます。 $$\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx + \int_{1}^{1} (3x^2 - 4x + 5) dx$$

解析学定積分積分計算

2025/4/6

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx + \int_{1}^{1} (3x^2 - 4x + 5) dx

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用します。

\int_{a}^{a} f(x) dx = 0

であるため、第二項は0になります。

\int_{1}^{1} (3x^2 - 4x + 5) dx = 0

次に、第一項の定積分を計算します。

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx

不定積分を求めます。

\int (3x^2 - 4x + 5) dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C

定積分を計算します。

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx = [x^3 - 2x^2 + 5x]_{1}^{3}

= (3^3 - 2(3^2) + 5(3)) - (1^3 - 2(1^2) + 5(1))

= (27 - 18 + 15) - (1 - 2 + 5)

= 24 - 4

= 20

したがって、与えられた定積分の値は

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx + \int_{1}^{1} (3x^2 - 4x + 5) dx = 20 + 0 = 20

3. 最終的な答え

20

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