次の定積分を計算してください。 $\int_{1}^{2} (3x^2 - 6x) dx + \int_{2}^{3} (3x^2 - 6x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{1}^{2} (3x^2 - 6x) dx + \int_{2}^{3} (3x^2 - 6x) dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの定積分を計算します。

$\int (3x^2 - 6x) dx = x^3 - 3x^2 + C$

次に、最初の定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (3x^2 - 6x) dx = [x^3 - 3x^2]_{1}^{2} = (2^3 - 3 \cdot 2^2) - (1^3 - 3 \cdot 1^2) = (8 - 12) - (1 - 3) = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2$

次に、2番目の定積分を計算します。

$\int_{2}^{3} (3x^2 - 6x) dx = [x^3 - 3x^2]_{2}^{3} = (3^3 - 3 \cdot 3^2) - (2^3 - 3 \cdot 2^2) = (27 - 27) - (8 - 12) = 0 - (-4) = 4$

最後に、それぞれの定積分の結果を足し合わせます。

$-2 + 4 = 2$

別の解法として、定積分の性質を利用する方法があります。

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

したがって、

$\int_{1}^{2} (3x^2 - 6x) dx + \int_{2}^{3} (3x^2 - 6x) dx = \int_{1}^{3} (3x^2 - 6x) dx$

$\int_{1}^{3} (3x^2 - 6x) dx = [x^3 - 3x^2]_{1}^{3} = (3^3 - 3 \cdot 3^2) - (1^3 - 3 \cdot 1^2) = (27 - 27) - (1 - 3) = 0 - (-2) = 2$

3. 最終的な答え

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