2次関数 $y=x^2+3mx+m-2$ のグラフが $x$ 軸の $x > -3$ の部分と $x < -3$ の部分で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2+3mx+m-2$ のグラフが $x$ 軸の $x > -3$ の部分と $x < -3$ の部分で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 $y=x^2+3mx+m-2$ のグラフが $x$ 軸の $x>-3$ の部分と $x<-3$ の部分で交わるためには、$x = -3$ のとき $y$ の値が負である必要がある。つまり、$f(x) = x^2+3mx+m-2$ とおくと、$f(-3) < 0$ である必要がある。

$f(-3) = (-3)^2 + 3m(-3) + m - 2 = 9 - 9m + m - 2 = 7 - 8m$

したがって、

$7 - 8m < 0$

$-8m < -7$

$8m > 7$

$m > \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

$m > \frac{7}{8}$