双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = -3x + k$ が2点で交わるとき、$k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = -3x + k$ が2点で交わるとき、$k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線 $y = -3x + k$ を双曲線の式 $x^2 - y^2 = 1$ に代入する。

$x^2 - (-3x + k)^2 = 1$

$x^2 - (9x^2 - 6kx + k^2) = 1$

$x^2 - 9x^2 + 6kx - k^2 = 1$

$-8x^2 + 6kx - k^2 - 1 = 0$

$8x^2 - 6kx + k^2 + 1 = 0$

この2次方程式が2つの異なる実数解を持つとき、双曲線と直線は2点で交わる。したがって、この2次方程式の判別式 $D$ が $D > 0$ である必要がある。

$D = (-6k)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (k^2 + 1) = 36k^2 - 32(k^2 + 1) = 36k^2 - 32k^2 - 32 = 4k^2 - 32$

$4k^2 - 32 > 0$

$k^2 - 8 > 0$

$k^2 > 8$

$k < -2\sqrt{2}$ または $k > 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$k < -2\sqrt{2}, 2\sqrt{2} < k$