(1) $x^3 - x + 1$ を $2x - 1$ で割ったときの商と余りを求めます。 (2) ある多項式を $x^2 + 4x + 5$ で割ると、商が $2x - 3$、余りが $-x + 4$ である。この多項式を求めます。

1. 問題の内容

(1) $x^3 - x + 1$ を $2x - 1$ で割ったときの商と余りを求めます。

(2) ある多項式を $x^2 + 4x + 5$ で割ると、商が $2x - 3$、余りが $-x + 4$ である。この多項式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 多項式の割り算を行います。

$x^3 - x + 1$ を $2x - 1$ で割ると、以下のようになります。

```

(1/2)x^2 + (1/4)x - (3/8)

2x-1 | x^3 + 0x^2 - x + 1

x^3 - (1/2)x^2

-------------------

(1/2)x^2 - x

(1/2)x^2 - (1/4)x

-------------------

-(3/4)x + 1

-(3/4)x + (3/8)

-------------------

5/8

```

よって、商は $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{3}{8}$、余りは $\frac{5}{8}$ です。

(2) 多項式を $P(x)$ とすると、

$P(x) = (x^2 + 4x + 5)(2x - 3) + (-x + 4)$

$P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 8x^2 - 12x + 10x - 15 - x + 4$

$P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 11$

3. 最終的な答え

(1) 商: $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{3}{8}$, 余り: $\frac{5}{8}$

(2) $2x^3 + 5x^2 - 3x - 11$