(5) $\alpha$ を第2象限の角、$\beta$ を第4象限の角とする。$\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。 (6) $\pi < x < -\frac{\pi}{2}$ とする。$\sin 2x = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin x + \cos x$ の値を求めよ。 (7) $\tan x = 2$ のとき、$\sin 2x$ と $\cos 2x$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

(5) $\alpha$ を第2象限の角、$\beta$ を第4象限の角とする。$\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

(6) $\pi < x < -\frac{\pi}{2}$ とする。$\sin 2x = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin x + \cos x$ の値を求めよ。

(7) $\tan x = 2$ のとき、$\sin 2x$ と $\cos 2x$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(5)

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求める。

$\alpha$ は第2象限の角なので、$\cos \alpha < 0$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

よって、$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

$\beta$ は第4象限の角なので、$\sin \beta < 0$ である。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

よって、$\sin \beta = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = (\frac{4}{5})(\frac{\sqrt{3}}{3}) + (-\frac{3}{5})(-\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4\sqrt{3}}{15} + \frac{3\sqrt{6}}{15} = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}{15}$.

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{3}{5})(\frac{\sqrt{3}}{3}) - (\frac{4}{5})(-\frac{\sqrt{6}}{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{15} + \frac{4\sqrt{6}}{15} = \frac{-3\sqrt{3} + 4\sqrt{6}}{15}$.

(6)

$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ なので、$x$ は第3象限の角である。

従って、$\sin x < 0$ かつ $\cos x < 0$ なので、$\sin x + \cos x < 0$ である。

よって、$\sin x + \cos x = -\sqrt{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

(7)

$\tan x = 2$ より、$\frac{\sin x}{\cos x} = 2$, つまり $\sin x = 2 \cos x$ である。

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$(2 \cos x)^2 + \cos^2 x = 1$, つまり $4 \cos^2 x + \cos^2 x = 1$, $5 \cos^2 x = 1$, $\cos^2 x = \frac{1}{5}$.

$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.

$\sin x = 2 \cos x = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 (\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}) (\pm \frac{\sqrt{5}}{5}) = 2 \cdot \frac{2 \cdot 5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$.

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.

3. 最終的な答え

(5) $\sin(\alpha + \beta) = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}{15}$, $\cos(\alpha + \beta) = \frac{-3\sqrt{3} + 4\sqrt{6}}{15}$

(6) $\sin x + \cos x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(7) $\sin 2x = \frac{4}{5}$, $\cos 2x = -\frac{3}{5}$