数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 3, a_{n+1} = 2a_n - n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 3, a_{n+1} = 2a_n - n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - n$ を変形して、特性方程式を使う形に近づけます。

まず、$a_{n+1} + f(n+1) = 2(a_n + f(n))$ の形に変形できるような $f(n)$ を探します。

この式を展開すると、 $a_{n+1} + f(n+1) = 2a_n + 2f(n)$ となります。

与えられた漸化式と比較すると、$f(n+1) - 2f(n) = -n$ が成り立つ必要があります。

$f(n) = An + B$ と仮定します。

すると、 $A(n+1) + B - 2(An+B) = -n$ となります。

$A(n+1) + B - 2An - 2B = -An + A - B = -n$

したがって、 $-A = -1$ かつ $A - B = 0$ となる必要があるので、$A=1$ かつ $B=1$ となります。

したがって、$f(n) = n+1$ となります。

よって、$a_{n+1} + (n+1) + 1 = 2(a_n + n + 1)$ ということになり、$a_{n+1} + n + 2 = 2(a_n + n + 1)$となります。

$b_n = a_n + n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = a_{n+1} + (n+1) + 1$ となり、$b_{n+1} = 2b_n$ となります。

これは等比数列の漸化式であり、初項は $b_1 = a_1 + 1 + 1 = 3+2=5$ です。

したがって、$b_n = 5 \cdot 2^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n - n - 1$ より、 $a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - n - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - n - 1$