$A = 4x^4 - 37x^2 + 9$ の因数分解を、以下の2つの考え方で行う。 * 考え方1: $x^2 = X$ とおいて因数分解する。 * 考え方2: $A = (ax^2 + b)^2 - cx^2$ の形に変形して因数分解する。

1. 問題の内容

$A = 4x^4 - 37x^2 + 9$ の因数分解を、以下の2つの考え方で行う。

* 考え方1: $x^2 = X$ とおいて因数分解する。

* 考え方2: $A = (ax^2 + b)^2 - cx^2$ の形に変形して因数分解する。

2. 解き方の手順

* 考え方1

$x^2 = X$ とおくと、

$A = 4X^2 - 37X + 9$

$A = (4X - 1)(X - 9)$

よって、アは4、イは1、ウは9である。

* 考え方2

$A = (ax^2 + b)^2 - cx^2 = a^2x^4 + 2abx^2 + b^2 - cx^2 = a^2x^4 + (2ab - c)x^2 + b^2$

$A = 4x^4 - 37x^2 + 9$

したがって、$a^2 = 4$, $2ab - c = -37$, $b^2 = 9$

* \[1] $b > 0$ のとき、$b = 3$, $a = 2$

$2ab - c = 2 * 2 * 3 - c = 12 - c = -37$

$c = 12 + 37 = 49$

$A = (2x^2 + 3)^2 - (7x)^2 = (2x^2 + 7x + 3)(2x^2 - 7x + 3)$

よって、エは2、オは3、カキは49、クは7である。

* \[2] $b < 0$ のとき、$b = -3$, $a = 2$

$2ab - c = 2 * 2 * (-3) - c = -12 - c = -37$

$c = -12 + 37 = 25$

$A = (2x^2 - 3)^2 - (5x)^2 = (2x^2 + 5x - 3)(2x^2 - 5x - 3)$

よって、エは2、オは3、ケコは25、サは5である。

3. 最終的な答え

考え方1: ア=4, イ=1, ウ=9

考え方2: [1] エ=2, オ=3, カキ=49, ク=7

[2] エ=2, オ=3, ケコ=25, サ=5