与えられた数式を展開する問題です。問題9は(1) $(x-2y+1)(x-2y-2)$、(2) $(a+b+c)^2$、(3) $(x^2+x-1)(x^2-x+1)$を展開します。問題10は(1) $(3a+1)(3a-1)^2$、(2) $(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)$を展開します。

1. 問題の内容

与えられた数式を展開する問題です。問題9は(1) $(x-2y+1)(x-2y-2)$、(2) $(a+b+c)^2$、(3) $(x^2+x-1)(x^2-x+1)$を展開します。問題10は(1) $(3a+1)(3a-1)^2$、(2) $(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)$を展開します。

2. 解き方の手順

問題9

(1) $x-2y = A$ と置くと、式は $(A+1)(A-2)$ となります。

展開して $A^2 - A - 2$ となり、$A$ を元に戻すと $(x-2y)^2 - (x-2y) - 2$ となります。

$(x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$ なので、$x^2 - 4xy + 4y^2 - x + 2y - 2$ が答えです。

(2) $(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$ を展開します。

$a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ が答えです。

(3) $(x^2-1 + x)(x^2-1 - x)$ と変形します。$x^2 - 1 = A$ と置くと、式は $(A+x)(A-x)$ となります。

展開して $A^2 - x^2$ となり、$A$ を元に戻すと $(x^2-1)^2 - x^2$ となります。

$(x^2-1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$ なので、$x^4 - 2x^2 + 1 - x^2 = x^4 - 3x^2 + 1$ が答えです。

問題10

(1) $(3a-1)^2 = 9a^2 - 6a + 1$ なので、$(3a+1)(9a^2 - 6a + 1)$ を展開します。

$27a^3 - 18a^2 + 3a + 9a^2 - 6a + 1 = 27a^3 - 9a^2 - 3a + 1$ が答えです。

(2) $(2x+y)(2x-y) = 4x^2 - y^2$ なので、$(4x^2+y^2)(4x^2-y^2)$ を展開します。

$16x^4 - y^4$ が答えです。

3. 最終的な答え

問題9

(1) $x^2 - 4xy + 4y^2 - x + 2y - 2$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $x^4 - 3x^2 + 1$

問題10

(1) $27a^3 - 9a^2 - 3a + 1$

(2) $16x^4 - y^4$