数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - n$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

$a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - n$

2. 解き方の手順

この漸化式は $a_{n+1} = pa_n + (nの1次式)$ の形であり、$p \neq 1$ です。ここでは、階差数列を利用して解きます。

まず、与えられた漸化式を $n$ を $n+1$ に置き換えた式を作ります。

$a_{n+2} = 2a_{n+1} - (n+1)$

次に、$a_{n+2} = 2a_{n+1} - (n+1)$ から $a_{n+1} = 2a_n - n$ を引きます。

$a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_n) - (n+1) + n$

$a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_n) - 1$

ここで、$b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ より、

$b_{n+1} = 2b_n - 1$

この漸化式を解きます。$b_{n+1} - 1 = 2(b_n - 1)$ と変形できます。

$c_n = b_n - 1$ とおくと、$c_{n+1} = 2c_n$ となり、$c_n$ は公比2の等比数列です。

$c_1 = b_1 - 1 = a_2 - a_1 - 1 = (2a_1 - 1) - a_1 - 1 = a_1 - 2 = 3 - 2 = 1$

よって、$c_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$

$b_n = c_n + 1 = 2^{n-1} + 1$

$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、$a_{n+1} - a_n = 2^{n-1} + 1$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^{k-1} + 1)$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 3 + \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} + (n-1)$

$a_n = 3 + 2^{n-1} - 1 + n - 1$

$a_n = 2^{n-1} + n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$ となり、成り立つ。

したがって、一般項は $a_n = 2^{n-1} + n + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + n + 1$