以下の2つの2次関数について、グラフの軸と頂点を求めます。 (1) $y = -2x^2 + 5x - 2$ (2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{7}{2}$

はい、承知いたしました。問題文に記載された2次関数のグラフの軸と頂点を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の2つの2次関数について、グラフの軸と頂点を求めます。

(1) $y = -2x^2 + 5x - 2$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{7}{2}$

2. 解き方の手順

それぞれの2次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。平方完成した式から軸の方程式もわかります。

(1) $y = -2x^2 + 5x - 2$ の場合:

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x) - 2$

次に、括弧の中を平方完成します。$\frac{5}{2}$ の半分の2乗である $(\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$ を加減します。

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16}) - 2$

$y = -2((x - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16}) - 2$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} - 2$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} - \frac{16}{8}$

$y = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{9}{8}$

したがって、頂点は $(\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$ であり、軸は $x = \frac{5}{4}$ です。

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{7}{2}$ の場合:

まず、$x^2$ の係数で括ります。

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 6x) - \frac{7}{2}$

次に、括弧の中を平方完成します。$-6$ の半分の2乗である $(-3)^2 = 9$ を加減します。

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9 - 9) - \frac{7}{2}$

$y = \frac{1}{2}((x - 3)^2 - 9) - \frac{7}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - \frac{9}{2} - \frac{7}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - \frac{16}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 8$

したがって、頂点は $(3, -8)$ であり、軸は $x = 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 5x - 2$

- 軸: $x = \frac{5}{4}$

- 頂点: $(\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{7}{2}$

- 軸: $x = 3$

- 頂点: $(3, -8)$