次の命題の真偽を調べ、その命題の逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる問題です。ただし、$x$ は実数とします。 (1) $x^2 = 2x \implies x = 0$ または $x = 2$ (2) $x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$

1. 問題の内容

次の命題の真偽を調べ、その命題の逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる問題です。ただし、$x$ は実数とします。

(1) $x^2 = 2x \implies x = 0$ または $x = 2$

(2) $x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = 2x \implies x = 0$ または $x = 2$

元の命題：$x^2 = 2x \implies x = 0$ または $x = 2$

$x^2 = 2x$ を解くと、$x^2 - 2x = 0$ より $x(x - 2) = 0$ なので、$x = 0$ または $x = 2$ となります。したがって、元の命題は真です。

逆：$x = 0$ または $x = 2 \implies x^2 = 2x$

$x = 0$ のとき、$x^2 = 0$ かつ $2x = 0$ なので、$x^2 = 2x$ が成り立ちます。

$x = 2$ のとき、$x^2 = 4$ かつ $2x = 4$ なので、$x^2 = 2x$ が成り立ちます。

したがって、逆の命題は真です。

裏：$x \neq 0$ かつ $x \neq 2 \implies x^2 \neq 2x$

$x = 1$ のとき、$x \neq 0$ かつ $x \neq 2$ ですが、$x^2 = 1$ であり $2x = 2$ なので、$x^2 \neq 2x$が成り立ちます。

$x = 3$ のとき、$x \neq 0$ かつ $x \neq 2$ であり、$x^2 = 9$ であり $2x = 6$ なので、$x^2 \neq 2x$が成り立ちます。

$x^2 = 2x$ となる $x$ は、$x = 0$ または $x = 2$ だけなので、$x \neq 0$ かつ $x \neq 2$ であれば $x^2 \neq 2x$ となります。したがって、裏の命題は真です。

対偶：$x^2 \neq 2x \implies x \neq 0$ かつ $x \neq 2$

裏の命題が真なので、対偶も真です。または、$x^2 = 2x$ となるのは、$x = 0$ または $x = 2$ のときだけなので、 $x^2 \neq 2x$ ならば $x \neq 0$ かつ $x \neq 2$ となります。したがって、対偶の命題は真です。

(2) $x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$

元の命題：$x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$

$x = -1$、$y = 2$ のとき、$x + y = 1 > 0$ ですが、$x = -1 < 0$ であり、$y = 2 > 0$ なので、$x > 0$ または $y > 0$ は成り立ちます。

$x = 2$、$y = -1$ のとき、$x + y = 1 > 0$ ですが、$x = 2 > 0$ であり、$y = -1 < 0$ なので、$x > 0$ または $y > 0$ は成り立ちます。

$x = 1$、$y = 1$ のとき、$x + y = 2 > 0$ であり、$x = 1 > 0$ であり、$y = 1 > 0$ なので、$x > 0$ または $y > 0$ は成り立ちます。

$x = -2$、$y = 3$のとき、$x + y = 1 > 0$ ですが、$x = -2 < 0$、$y = 3 > 0$ なので、$x > 0$ または $y > 0$ は成り立ちます。

$x = -3$、$y = 2$のとき、$x + y = -1 < 0$ です。

したがって、$x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$ は真です。

逆：$x > 0$ または $y > 0 \implies x + y > 0$

$x = 2$、$y = -1$ のとき、$x > 0$ または $y > 0$ は成り立ちますが、$x + y = 1 > 0$ となります。

$x = -1$、$y = 2$ のとき、$x > 0$ または $y > 0$ は成り立ちますが、$x + y = 1 > 0$ となります。

$x = -2$、$y = 1$ のとき、$x < 0$ かつ $y > 0$ であり、$x + y = -1 < 0$ となります。これは反例です。

したがって、逆の命題は偽です。

裏：$x \leq 0$ かつ $y \leq 0 \implies x + y \leq 0$

これは真です。$x$ も $y$ も 0 以下であれば、それらの和も 0 以下になります。

対偶：$x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$

これは元の命題と同じなので、真です。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 = 2x \implies x = 0$ または $x = 2$

* 元の命題: 真

* 逆: 真

* 裏: 真

* 対偶: 真

(2) $x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 裏: 真

* 対偶: 真